Rappresentare per astrarre: perché nella primaria lo schema non si abbandona

Nelle riunioni di dipartimento capita di sentire un'affermazione che suona di buon senso: a un certo punto, nei problemi più complessi, bisogna lasciare la rappresentazione per fare spazio all'astrazione. Chi la sostiene ha in mente un'immagine precisa: l'alunno che disegna tutto, che non riesce a staccarsi dal foglio, che a dieci anni conta ancora i pallini. Il timore è legittimo. Ma la formula, presa alla lettera, mette in opposizione due cose che in matematica lavorano insieme.

In questo articolo provo a ragionare su che cosa significa davvero passare dal concreto all'astratto, che cosa dice la ricerca e come questo si traduce in classe, con esempi per la quarta e la quinta.

Un'opposizione che non regge

L'idea che rappresentare e astrarre siano due momenti successivi, il primo da superare per arrivare al secondo, nasce da una lettura semplificata di Jerome Bruner. Nel suo lavoro sulla teoria dell'istruzione (1966) Bruner distingue tre modi di rappresentare la conoscenza: quello enattivo, che passa dall'azione; quello iconico, che passa dall'immagine; quello simbolico, che passa dal linguaggio e dai segni. Il punto è che non si tratta di gradini da lasciarsi alle spalle. Sono tre registri che si alternano, e un apprendimento solido si riconosce proprio dalla capacità di passare dall'uno all'altro, in entrambe le direzioni.

Lo stesso vale per l'impostazione di Singapore, nota con la sigla CPA (concreto, pittorico, astratto). Chi la conosce sa che il modello a barre non scompare quando i problemi si fanno difficili: diventa, anzi, lo strumento principale. Perché? Perché una barra non è un disegno della scena, è già un'astrazione. Seleziona ciò che conta (le quantità e le relazioni tra di esse) e lascia fuori ciò che è accessorio (le mele, le figurine, il colore del giubbotto).

Qui sta il nodo. Rappresentare non è il contrario di astrarre: una buona rappresentazione è un modo di astrarre che si può vedere e toccare.

Due tipi di disegno

Per capire perché il dibattito tende a confondersi bisogna distinguere due cose che, a occhio, si assomigliano.

Il disegno illustrativo riproduce la scena del problema: i tre amici, le figurine, il giubbotto con il cartellino. È un'immagine fedele ma non dice nulla sulla struttura. L'alunno che si affida solo a questo tipo di disegno può essere molto impegnato e molto lontano dalla soluzione.

Lo schema relazionale invece mostra come le quantità si collegano: chi è il doppio di chi, che cosa è parte di che cosa, quale dato si riferisce al tutto e quale a ciò che resta.

La ricerca va in questa direzione. Hegarty e Kozhevnikov (1999), studiando le rappresentazioni usate nella risoluzione di problemi verbali, hanno trovato che chi risolve meglio tende a costruire rappresentazioni schematiche, mentre chi si affida a immagini pittoriche della situazione ottiene risultati peggiori. 

La differenza non sta nel disegnare o non disegnare, ma nel che cosa si disegna.

Se c'è una preoccupazione fondata nell'affermazione in dipartimento, è questa: la rappresentazione illustrativa, se resta l'unica, diventa una stampella. Ma la risposta non è togliere la stampella, è insegnare a passare dall'illustrazione allo schema.

Sfumare il concreto, non abbandonarlo

C'è un punto della letteratura che dà ragione, almeno in parte, a chi invita a muoversi verso l'astratto. È la ricerca sul cosiddetto concreteness fading, cioè la sfumatura graduale del concreto. Fyfe, McNeil, Son e Goldstone (2014), in una rassegna sistematica, mostrano che le rappresentazioni concrete aiutano a comprendere e che le rappresentazioni astratte aiutano a trasferire quanto appreso a situazioni nuove. La sequenza più promettente parte dal concreto e lo fa sfumare progressivamente verso forme più essenziali.

Attenzione però alle parole: si parla di sfumare, non di abbandonare. Il passaggio è graduale, guidato dall'insegnante, e le rappresentazioni intermedie hanno una funzione precisa: rendono visibile ciò che, nell'immagine concreta, era ancora nascosto.

In pratica, nell'arco della primaria cambia il tipo di rappresentazione. 

All'inizio c'è l'oggetto manipolabile; poi il disegno ancora vicino alla scena; poi lo schema sempre più essenziale, la barra, la retta numerica, la tabella; infine, per i problemi che l'alunno padroneggia, il calcolo diretto sui simboli. E si torna indietro ogni volta che il problema è nuovo o difficile. Non è una regressione: è una competenza.

Perché proprio i problemi complessi chiedono lo schema

L'obiezione più forte all'idea di abbandonare la rappresentazione è che, nei problemi complessi, ne abbiamo più bisogno, non meno. 

Quando i dati sono molti e le relazioni si intrecciano, tenere tutto a mente è proibitivo. 

Lo schema funziona da memoria esterna: scarica la memoria di lavoro e permette di concentrarsi sulle relazioni.

Vediamolo su alcuni problemi.

Classe quarta

Tre amici hanno in tutto 128 figurine. Anna ne ha il doppio di Bruno, Carlo ne ha 12 più di Bruno. Quante ne ha ciascuno?

Si disegna una barra per Bruno, due barre uguali per Anna e una barra con un segmento da 12 per Carlo. A colpo d'occhio si vede che quattro barre uguali più 12 valgono 128: quattro barre valgono dunque 116 e una barra vale 29. Bruno ne ha 29, Anna 58, Carlo 41. Senza schema, molti alunni sommano o moltiplicano i numeri del testo nell'ordine in cui compaiono.

In una classe ci sono 24 alunni. Un terzo va in biblioteca e, dei rimanenti, un quarto va in palestra. Quanti restano in classe?

La barra intera si divide in tre parti; poi la parte rimasta si divide in quattro. Lo schema chiarisce ciò che il testo lascia ambiguo, cioè che il quarto si riferisce ai rimanenti e non ai 24: in biblioteca vanno 8, ne restano 16, in palestra ne vanno 4, in classe ne restano 12.

Classe quinta

Sara spende 2/5 dei suoi risparmi per un libro e 1/3 di quello che le resta per un quaderno. Le rimangono 12 euro. Quanti euro aveva?

La barra si divide in cinque parti: due per il libro, tre rimanenti. Un terzo di queste tre parti è una parte, e per il quaderno ne va una; ne restano due, che valgono 12 euro. Ogni quinto vale quindi 6 euro e i risparmi erano 30 euro. Il ragionamento a ritroso, qui, è quasi impossibile senza una rappresentazione.

Un giubbotto, scontato del 20%, costa 36 euro. Qual era il prezzo originale?

La barra intera è divisa in dieci parti: due sono lo sconto, otto sono i 36 euro pagati. Una parte vale 4,50 euro e il prezzo originale era 45 euro. Lo schema previene l'errore più frequente, che è calcolare il 20% di 36 e aggiungerlo.

In tutti questi casi lo schema non sostituisce il pensiero: lo rende visibile. 

E quando l'alunno è abbastanza esperto, lo schema si fa sempre più essenziale, fino a essere solo immaginato. Ma non è una scelta che si possa fissare in anticipo per classe o per età.

Che cosa dicono le Indicazioni

Le Indicazioni Nazionali per il primo ciclo (2012) collocano tra i traguardi della primaria la capacità di riconoscere e usare rappresentazioni diverse di oggetti matematici e di rappresentare problemi con tabelle e grafici che ne esprimono la struttura. Il linguaggio è quello della pluralità delle rappresentazioni e dei ritorni tra i piani, non quello del congedo da una di esse. 

Nelle Nuove Indicazioni del 2025 Ll matematica non viene più trattata come un insieme di regole astratte, ma è connessa a scienze, tecnologia, informatica ed educazione civica (compresa l'educazione finanziaria). La rappresentazione del problema serve a tradurre situazioni della vita quotidiana in modelli gestibili.  Si valorizzano diverse modalità per rappresentare un problema (grafica, verbale, simbolica, numerica e manipolativa), stimolando la flessibilità cognitiva e la capacità di adottare prospettive differenti. Tra i traguardi di competenza (ad esempio alla fine della scuola secondaria di primo grado), gli studenti devono saper spiegare con chiarezza il procedimento seguito, discutere le soluzioni trovate e riflettere criticamente sul proprio operato per modificarlo in base all'esperienza.

Con l'introduzione dell'informatica già nella scuola primaria, la rappresentazione dei problemi si lega alla scomposizione in sottoproblemi, alla ricerca di pattern e alla costruzione di algoritmi.

Se c'è una sola abitudine da suggerire a colleghi e colleghe, è questa. Davanti allo schema di un alunno, più che chiedere «Come hai calcolato?», conviene chiedere: «Che cosa rappresenta questa parte della barra?». La prima domanda controlla la procedura; la seconda controlla la comprensione. 

Uno schema di cui l'alunno sa spiegare ogni parte è una rappresentazione che lavora per lui. Uno schema ricopiato dalla lavagna, senza che si sappia perché sia fatto così, è soltanto un altro disegno.

L'affermazione da cui siamo partiti contiene un'intuizione giusta e una conclusione sbagliata. L'intuizione: l'obiettivo è arrivare a ragionare sulle relazioni, senza restare prigionieri dell'illustrazione. La conclusione sbagliata: che per farlo si debba lasciare la rappresentazione. Si lascia, semmai, un certo tipo di rappresentazione, quella che racconta la scena, per sceglierne un'altra, quella che mostra la struttura.

Il criterio, allora, non è la classe, ma il problema e la solidità della comprensione. E nei problemi più complessi, quelli in cui le relazioni sono tante e si intrecciano, lo schema è proprio lo strumento che permette di arrivare all'astrazione senza perdersi per strada.

Segui Su instagram @vitadiscuola 👀👉Guarda il reel

📌Segui la rubrica 

Puoi leggere anche Il dialogo come ponte tra concreto e astrazione

Riferimenti essenziali

• Bruner, J. S. (1966), Toward a theory of instruction, Harvard University Press.
• Hegarty, M., Kozhevnikov, M. (1999), Types of visual-spatial representations and mathematical problem solving, Journal of Educational Psychology.
• Fyfe, E. R., McNeil, N. M., Son, J. Y., Goldstone, R. L. (2014), Concreteness fading in mathematics and science instruction: a systematic review, Educational Psychology Review.
• Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics
• Barth, B. M. (1990). L'apprendimento dell'astrazione. Milano: Emme Edizioni.
• D'Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Bologna: Pitagora.
• D'Amore, B. & Marazzani, I. (2005). Laboratorio di matematica nella scuola primaria. Attività per creare competenze. Bologna: Pitagora.
• Ministero dell'istruzione, Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola dell'infanzia e del primo ciclo d'istruzione (2012),  Nuove Indicazioni (2025).

Giunti Scuola (Archivio Articoli). La rappresentazione grafica delle conoscenze.